REZIME

Prenos pneumatskog signala u dugim vodovima je razmatran sa stanovišta raspodeljenosti, i vre­men­skog kašnjenja, i prezentovani su njihovi odskočni odzivi. Korišćenjem Simulink modula programa Matlab efikasno je simuliran pneumatski sistem sa kašnjenjem. Prikazani su uporedni odskočni odzivi za oba fenomena, i utvrđeno je da je brzina rea­go­vanja sistema veća ukoliko se on razmatra sa stanovišta kašnjenja

Ključne reči: dugi pneumatski vodovi, kašnjenje, raspodeljeni parametarski sistemi.

 

ABSTRACT

Transient in long pneumatic lines is considered from distributed parameter and as well time delay view of point, and are presented time responses. By using Simulink module of program Matlab, efficiency is simulated pneumatic system with time delay. There are presented time re­sponses for both phenomena, and it is determined that system speed response is higher if the analyze is taking into account from time delay view of point. 

Key words: long pneumatic pipes, time-delay, distributed parameter systems.

1.      UVOD

Analiza pneumoelektričnih izvršnih organa čije se ponašanje i upravljanje ne može razotkriti bez uzimanja u obzir uticaja ponašanja pneumatskih vodova, usled njihove dužine i/ili elastičnosti, na ukupno ponašanje pneumoelektričnih upravljačkih sistema, je predmet ovog rada. Osnovu rada čine metode analize dinamike strujanja gasa, stabilnosti sistema automatskog upravljanja i metode simu­la­cije, koje se koriste za proučavanje dinamičkog po­na­šanja linearnih dinamičkih sistema sa čistim vre­menskim kašnjenjem i sistema sa raspodeljenim para­metrima, utemeljenih na linearnoj algebri, ope­racionom računu, funkcionalnoj analizi, integro dife­rencijalnim jednačinama i linearnim matričnim neje­d­nakostima. Prostiranje informacionog signala u dugim vodovima je analizirano sa stanovišta vremenskog kašnjenja i parametarske raspode­ljeno­sti. Fenomeni promene pritiska, i protoka gasa u pneumatskim sistemima upravljanja su veoma slo­že­ni i imaju veliki uticaj na dinamičke karakteristike stabilnosti i odziva ovih sistema, osobito sa duga­čkim vodovima, odnosno na razvoj konstrukcije sistema i njegovih komponenti. Dosadašnji objav­ljeni radovi pokazuju nepotpunu analizu ovih fenomena i samih sistema upravljanja, ali ukazuju na njihov značaj i aktuelnost dugi niz godina. Očito je da fenomeni prostiranja pritiska i protoka gasa u pneumatskim sistemima upravljanja, imaju karakter kašnjenja i parametarske raspodeljenosti, i da je nužna analiza sa ovih aspekata. 

 

2.      MATEMATIČKI MODEL  

Mnoge situacije u tehničkoj praksi pneumatskih izvršnih organa zahtevaju dužinu pneumatskih vodova po nekoliko metara. Poznato je da pne­umatski izvršni organi sa beskonačnim brojem polo­žaja, kao i sa vremenski promenljivim ulazima (osobito sa visokim amplitudama) imaju probleme sa brzinom odziva, tačnošću i ponovljivošću usled stišljivosti gasa. Postojanje dugačkih i/ili elastičnih vodova ovaj problem znatno usložnjava. Savremeni tehnički zahtevi u pogledu ovih karakteristika traže dublju i kompletniju analizu fenomena promene pritiska i protoka u pneumatskim izvršnim organima sa dugačkim i/ili elastičnim vodovima kao i njihovo adekvatno automatsko upravljanje, s obzirom na sve veće zahteve automatizacije. 

Problem prenosa na daljinu je bio aktuelan još pedesetih godina prošlog veka. Rani radovi iz ove oblasti su uglavnom razmatrali prostiranje zvučnog talasa u dugačkim vodovima, međutim kasnije istra­živanje ide prema potpunijem sagledavanju fluidnog stanja duž vodova. Analiza problema prostiranja pneumatskih signala odnosno energije u dugačkim vodovima obuhvata dva fenomena: pojavu čistog vremenskog kašnjenja i stojećeg talasa. Promene pritiska kroz gas se prenose lokalnom brzinom zvuka, tako da promene pritiska i protoka na jednom kraju voda ne dovode do trenutnog porasta pritiska i protoka na drugom kraju voda, već se javlja čisto vremensko kašnjenje signala odnosno energije na izlazu, za vreme koje je potrebno da isti pređu dato rastojanje. Rezultat drugog fenomena su stojeći talasi koji uzrokuju veliki fazni pomeraj za više učestanosti ulaznog signala, odnosno dovode do parametarske raspodeljenosti. Razvojem automati­za­cije, osobito sa dugačkim i/ili elastičnim pneumat­skim vodovima uz zahtev za promenljivim ulazima, viših učestanosti, viših amplituda i uz veću tačnost i ponovljivost dovelo je do nužnosti kompletne dina­mičke analize pneumatskih izvršnih organa u sklopu raznih servosistema. 

U matematičkom smislu sistemi sa kašnjenjem su opisani algebarskim ili običnim diferencijalnim jednačinama sa tzv. “pomerenim argumentom“, što povlači čitav niz dopunskih poteškoća koje se jav­lja­ju pri njihovom rešavanju, a pošto se radi o siste­mima beskonačne dimenzije dolazi do pojave trans­ce­dentnog člana koji uključuje probleme numeri­čkog karaktera, onemogućava i stvara znatne pote­š­koće pri njihovoj analizi i sintezi u kompleksnom i/ili frekventnom domenu i obavezno u prostoru stanja. Preduslov čistog vremenskog kašnjenja, bez obzira da li je ono prisutno u upravljanju i/ili u stanju može da proizvede neželjene prelazne kara­kteristike pa čak i da dovede do nestabilnosti. Poslednje pomenuti slučaj je veoma čest kada su u pitanju servosistemi, i iz tih razloga je ovaj problem naišao na veliko interesovanje u poslednje vreme. 

  Na slici (1), prema [Andersen, 1967], prikazan je pneumatski vod dužine L, na čijem kraju se nalazi mali pneumatski membranski motor kao deo nekog mernog instrumenta. Jednačine u kojima figurišu brzina, pritisak i gustina u vodu, mogu se izvesti uzimajući u obzir ubrzanje delića fluida i njegovu promenu gustine prilikom kretanja duž voda. 

  

   

Slika 1- Pneumatski vod 

  

Pretpostavljajući da važi osna simetrija, na slici 2 prikazan je izdvojeni delić fluida dužine dy i debljine dr. 

 

Slika 2- Izdvojeni deo fluida 

  

Izjednačavajući silu predstavljenu proizvodom mase gasa i njegovog ubrzanja, sa zbirom sila pred­stavljenih silom razlike normalnih napona (pritisaka) sa negativnim predznakom i silom razlike tan­gen­cijalnih napona dobija se jednakost: 

  (1)

a koristeći jednačinu prema [Andersen, 1967], sledi: 

                             (2) 

  

pri čemu je P diferencijal dat jednačinom: 

                                                    (3) 

tako da se dobija: 

            .       (4) 

U slučaju pretpostavke da se radi o potpuno laminarnom strujanju, jednačina 4 se redukuje na oblik:

  

  .          (5)

  

Detaljno je obrađen problem pneumatskog pro­stiranja signala kroz duge vodove, [Andersen, 1967]. Usvojena je pretpostavka da se radi o jedno­di­men­zijskom strujanju, upotrebljena je politropska gasna jednačina i nakon primene odgovarajućih pret­postavki dobijena je jednačina ponašanja sistema u kompleksnom domenu. Uvođenjem izvesnih apro­ksimacija dobijena je jednačina ponašanja u kojoj je prisutno kašnjenje, koje se zbog realnog prikazivanja samog sistema ne može zanemariti. 

  

    3.   АPROKSIMACIJE PRI PRENOŠENJU PNEUMATSKOG SIGNALA 

  Povećavajući dužinu prenosnog voda, dolazi do povećavanja koeficijenta prigušenja z, ali i do smanjivanja b. U slučaju da se dužina poveća između 45 i 60 m, dolazi do kritičnog prigušenja, i tada se  mogu koristiti aproksimacije prvog reda. Rezultati testova prikazuju da su aproksimacije jednačinama prvog reda, dovoljno dobre, i uzimaju u obzir čisto vremensko kašnjenje. 

      Ovi rezultati se mogu postići u matematičkom smislu, uz pomoć odgovarajućih aproksimacija, koje su date u obliku:

                          (6)

                             (7)

                    (8)

pri čemu se pretpostavlja, da je s/b dovoljno veliko tako da se može smatrati da su članovi cosh(s/b) i sinh(s/b) jednaki, a da se članovi višeg reda od E₂b/s mogu zanemariti. Rezultati eksperimenata pokazuju dobra slaganja i opravdavaju gore prikazane jedna­čine.

Diferencijalna jednačina ponašanja u kompleksnom domenu je data sa:

             .                 (9)

   

4.      ANALIZA ODZIVA 

   Odzivi sistema na jediničnu odskočnu ulaznu promenu kada se problem razmatra sa stanovišta parametarske raspodeljenosti, odnosna kada se ra­zma­tra sa stanovišta vremenskog kašnjenja, pri­kazani su na slici 3 i 4.  

Slika 3 – Odziv pneumatskog sistema posmatran sa stanovišta parametarske raspodeljenosti

  

   

Slika 4 – Odziv pneumatskog sistema posmatran sa stanovišta vremenskog kašnjenja 

 

5.   KARAKTERISTIČNI POKAZATELJI ODSKOČNOG ODZIVA 

Primarno se od tehničkih sistema zahteva odre­đeni kvalitet dinamičkog ponašanja, koji se mani­festuje kroz pokazatelje odskočnog i/ili frekventnog odziva. 

Odlučujući uticaj na izgled prelaznog procesa imaju polovi prenosne funkcije sistema koji su naj­bliži imaginarnoj osi u kompleksnoj ravni s, i oni se nazivaju dominatnim polovima, a ako je sistem višeg reda, onda se uticaj polova, čiji je realni deo šest puta veći po apsolutnoj vrednosti od realnog dela do­minantnih polova na prelazni proces može zanemariti, prema [Debeljković, 1987]. 

  Dinamičke osobine sistema izražene preko odgovarajućih pokazatelja u vremenskom domenu, analiziraju se na odskočnim odzivima pneumatskog sistema prostiranja signala odnosno energije u dugim pneumatskim vodovima, kada se dati sistem razmatra sa stanovišta raspodeljenosti i kašnjenja. 

  Dominantan par polova, u slučaju kada se prostiranje pneumatskog signala odnosno energije posmatra sa stanovišta raspodeljenosti je: 

 

                                               (10) 

  

Kompleksni broj s, može se predstaviti na sledeći način: 

                                     (11) 

gde s  predstavlja realni deo, a w imaginarni deo kompleksnog broja s. 

U polarnim koordinatama ako se koristi Ojlerov oblik kompleksnog broja može se napisati: 

  

         (12) 

 

gde je w_n- neprigušena (prirodna) učestanost siste­ma.

Neprigušena učestanost sistema se može izraziti kao:

    (13)

a prigušenje sistema je dato sa:

                                     (14)

      Dominantna vremenska konstanta T_d iznosi:

 

                              (15)

 

a vreme smirenja T_s:      .       (16)

     

Trenutak nastupanja preskoka je:

     (17)

     

Perioda oscilacije iznosi:

                                         (18)

     

Broj oscilacija može se odrediti na osnovu sledećeg izraza:    

  (19)

     

Kada se prostiranje pneumatskog signala po­sma­tra sa stanovišta kašnjenja, dominantan pol je:

 

                                         (20)

     

Neprigušena učestanost sistema uzimajući u obzir jednačinu (20), se može izraziti kao:

 

    (21)

a prigušenje sistema je dato sa:

          .                        (22)

     

Dominantna vremenska konstanta T_d iznosi:

                  (23)

a vreme smirenja T_s:

          .    (24)

Trenutak nastupanja preskoka je:

            (25)

     

Perioda oscilacije iznosi:

                                           (26)

      Broj oscilacija može se odrediti na osnovu sledećeg izraza:          

(27)

    

6.  ZAKLJUČAK

        Prostiranje signala u dugim pneumatskim vodovima je analizirano sa aspekta parametarske raspodeljenosti i kašnjenja. Pneumoelektrični izvršni organi imaju široku primenu u mnogim granama industrije, odnosno u pogonu mnogih procesa i mašina (hemijska i farmaceutska industrija, indu­strija nafte, gasa, papira, drveta i stakla, vozila, mašine alatke, transport, vojna tehnika i dr.) zbog niza svojih prednosti. 

Prikazani su uporedni odskočni odzivi za oba fenomena. Analizom odziva sistema prostiranja signala kroz duge pneumatske vodove, utvrđeno je da je brzina reagovanja sistema veća ukoliko se on razmatra sa stanovišta kašnjenja.